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人気のある三角関数 >

7sec^3(x)+16sec^2(x)+11sec(x)+2=0

解

7 sec^{3} (x) + 16 sec^{2} (x) + 11 sec (x) + 2 = 0

解

x = π + 2 πn

+1

度

x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

7 sec^{3} (x) + 16 sec^{2} (x) + 11 sec (x) + 2 = 0

置換で解く

7 sec^{3} (x) + 16 sec^{2} (x) + 11 sec (x) + 2 = 0

仮定:

sec (x) = u

7 u^{3} + 16 u^{2} + 11 u + 2 = 0

7 u^{3} + 16 u^{2} + 11 u + 2 = 0 : u = - 1, u = - \frac{2}{7}

7 u^{3} + 16 u^{2} + 11 u + 2 = 0

因数

7 u^{3} + 16 u^{2} + 11 u + 2 : (u + 1)^{2} (7 u + 2)

7 u^{3} + 16 u^{2} + 11 u + 2

有理根定理を使用する

a_{0} = 2, a_{n} = 7

a_{0} : 1, 2

の除数,

a_{n} : 1, 7

の除数

ゆえに次の有理数をチェックする:

\pm \frac{1 , 2}{1 , 7}

- \frac{1}{1}

は式の累乗根なので

u + 1

をくくり出す

= (u + 1) \frac{7 u ^{3} + 16 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1}

\frac{7 u ^{3} + 16 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1} = 7 u^{2} + 9 u + 2

\frac{7 u ^{3} + 16 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1}

割る

\frac{7 u ^{3} + 16 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1} : \frac{7 u ^{3} + 16 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1} = 7 u^{2} + \frac{9 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1}

分子

7 u^{3} + 16 u^{2} + 11 u + 2

と除数

u + 1

の主係数で割る:

\frac{7 u ^{3}}{u} = 7 u^{2}

商 = 7 u^{2}

u + 1

に

7 u^{2}

を乗じる:

7 u^{3} + 7 u^{2}

7 u^{3} + 7 u^{2}

を

7 u^{3} + 16 u^{2} + 11 u + 2

から引いて新しい余りを得る

余り = 9 u^{2} + 11 u + 2

このため

\frac{7 u ^{3} + 16 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1} = 7 u^{2} + \frac{9 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1}

= 7 u^{2} + \frac{9 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1}

割る

\frac{9 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1} : \frac{9 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1} = 9 u + \frac{2 u + 2}{u + 1}

分子

9 u^{2} + 11 u + 2

と除数

u + 1

の主係数で割る:

\frac{9 u ^{2}}{u} = 9 u

商 = 9 u

u + 1

に

9 u

を乗じる:

9 u^{2} + 9 u

9 u^{2} + 9 u

を

9 u^{2} + 11 u + 2

から引いて新しい余りを得る

余り = 2 u + 2

このため

\frac{9 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1} = 9 u + \frac{2 u + 2}{u + 1}

= 7 u^{2} + 9 u + \frac{2 u + 2}{u + 1}

割る

\frac{2 u + 2}{u + 1} : \frac{2 u + 2}{u + 1} = 2

分子

2 u + 2

と除数

u + 1

の主係数で割る:

\frac{2 u}{u} = 2

商 = 2

u + 1

に

2

を乗じる:

2 u + 2

2 u + 2

を

2 u + 2

から引いて新しい余りを得る

余り = 0

このため

\frac{2 u + 2}{u + 1} = 2

= 7 u^{2} + 9 u + 2

= 7 u^{2} + 9 u + 2

因数

7 u^{2} + 9 u + 2 : (7 u + 2) (u + 1)

7 u^{2} + 9 u + 2

式をグループに分ける

7 u^{2} + 9 u + 2

定義

以下の因数:

14 : 1, 2, 7, 14

14

除数 (因数)

以下の素因数を求める:

14 : 2, 7

14

14214 = 7 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 7

2, 7

はすべて素数である。ゆえにさらに因数分解することはできない

= 2 \cdot 7

素因数を加える:

2, 7

1 および

14

の数自体を加える

1, 14

以下の因数:

14

1, 2, 7, 14

u * v = 14

などの各 2 因数で以下をチェックする:

u + v = 9

以下をチェックする:

u = 1, v = 14 : u * v = 14, u + v = 15 \Rightarrow

偽以下をチェックする:

u = 2, v = 7 : u * v = 14, u + v = 9 \Rightarrow

真

u = 2, v = 7

以下に分ける:

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(7 u^{2} + 2 u) + (7 u + 2)

= (7 u^{2} + 2 u) + (7 u + 2)

u

を

7 u^{2} + 2 u : u (7 u + 2)

からくくり出す

7 u^{2} + 2 u

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 7 uu + 2 u

共通項をくくり出す

u

= u (7 u + 2)

= u (7 u + 2) + (7 u + 2)

共通項をくくり出す

7 u + 2

= (7 u + 2) (u + 1)

= (u + 1) (7 u + 2) (u + 1)

改良

= (u + 1)^{2} (7 u + 2)

(u + 1)^{2} (7 u + 2) = 0

零因子の原則を使用:

ab = 0

ならば

a = 0

または

b = 0

u + 1 = 0 or 7 u + 2 = 0

解く

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

1

を右側に移動します

u + 1 = 0

両辺から

1

を引く

u + 1 - 1 = 0 - 1

簡素化

u = - 1

u = - 1

解く

7 u + 2 = 0 : u = - \frac{2}{7}

7 u + 2 = 0

2

を右側に移動します

7 u + 2 = 0

両辺から

2

を引く

7 u + 2 - 2 = 0 - 2

簡素化

7 u = - 2

7 u = - 2

以下で両辺を割る

7

7 u = - 2

以下で両辺を割る

7

\frac{7 u}{7} = \frac{- 2}{7}

簡素化

u = - \frac{2}{7}

u = - \frac{2}{7}

解答は

u = - 1, u = - \frac{2}{7}

代用を戻す

u = sec (x)

sec (x) = - 1, sec (x) = - \frac{2}{7}

sec (x) = - 1, sec (x) = - \frac{2}{7}

sec (x) = - 1 : x = π + 2 πn

sec (x) = - 1

以下の一般解

sec (x) = - 1

sec (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル :

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

sec (x) = - \frac{2}{7} :

解なし

sec (x) = - \frac{2}{7}

sec (x) \leq - 1 or sec (x) \geq 1

解なし

すべての解を組み合わせる

x = π + 2 πn

グラフ

人気の例

1 + sin (5 x) = 0

0= pi/2-2arctan((pi/2-2-c)/(pi/2-c))

0 = \frac{π}{2} - 2 arctan (\frac{\frac{π}{2} - 2 - c}{\frac{π}{2} - c})

2sin(2x+10)-sqrt(3)=0

2 sin (2 x + 10) - 3 = 0

cos(θ)=(13)/(sqrt(6)*\sqrt{86)}

cos (θ) = \frac{13}{6 \cdot 86}

(1+tan(x))/(1+cot(x))=2

\frac{1 + tan ( x )}{1 + cot ( x )} = 2