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Popolare Trigonometria >

arctan(x+1)+arctan(x-1)=arctan(12)

Soluzione

arctan (x + 1) + arctan (x - 1) = arctan (12)

Soluzione

x = \frac{4}{3}

Fasi della soluzione

arctan (x + 1) + arctan (x - 1) = arctan (12)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

arctan (x + 1) + arctan (x - 1)

Usa la formula della somma al prodotto:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )})

arctan (\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )}) = arctan (12)

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

arctan (\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )}) = arctan (12)

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )} = tan (arctan (12))

tan (arctan (12)) = 12

tan (arctan (12))

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche:

tan (arctan (12)) = 12

Usare l'identità seguente:

tan (arctan (x)) = x

= 12

= 12

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )} = 12

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )} = 12

Risolvi

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )} = 12 : x = - \frac{3}{2}, x = \frac{4}{3}

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )} = 12

Semplificare

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )} : \frac{2 x}{- x ^{2} + 2}

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )}

x + 1 + x - 1 = 2 x

x + 1 + x - 1

Raggruppa termini simili

= x + x + 1 - 1

Aggiungi elementi simili:

x + x = 2 x

= 2 x + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 x

= \frac{2 x}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )}

Espandi

1 - (x + 1) (x - 1) : - x^{2} + 2

1 - (x + 1) (x - 1)

Espandi

- (x + 1) (x - 1) : - x^{2} + 1

Espandi

(x + 1) (x - 1) : x^{2} - 1

(x + 1) (x - 1)

Applicare la formula differenza di due quadrati:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = x, b = 1

= x^{2} - 1^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= x^{2} - 1

= - (x^{2} - 1)

Distribuire le parentesi

= - (x^{2}) - (- 1)

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a, - (a) = - a

= - x^{2} + 1

= 1 - x^{2} + 1

Semplifica

1 - x^{2} + 1 : - x^{2} + 2

1 - x^{2} + 1

Raggruppa termini simili

= - x^{2} + 1 + 1

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= - x^{2} + 2

= - x^{2} + 2

= \frac{2 x}{- x ^{2} + 2}

\frac{2 x}{- x ^{2} + 2} = 12

Moltiplica entrambi i lati per

- x^{2} + 2

\frac{2 x}{- x ^{2} + 2} = 12

Moltiplica entrambi i lati per

- x^{2} + 2

\frac{2 x}{- x ^{2} + 2} (- x^{2} + 2) = 12 (- x^{2} + 2)

Semplificare

2 x = 12 (- x^{2} + 2)

2 x = 12 (- x^{2} + 2)

Risolvi

2 x = 12 (- x^{2} + 2) : x = - \frac{3}{2}, x = \frac{4}{3}

2 x = 12 (- x^{2} + 2)

Espandere

12 (- x^{2} + 2) : - 12 x^{2} + 24

12 (- x^{2} + 2)

Applicare la legge della distribuzione:

a (b + c) = ab + a c

a = 12, b = - x^{2}, c = 2

= 12 (- x^{2}) + 12 \cdot 2

Applicare le regole di sottrazione-addizione

+ (- a) = - a

= - 12 x^{2} + 12 \cdot 2

Moltiplica i numeri:

12 \cdot 2 = 24

= - 12 x^{2} + 24

2 x = - 12 x^{2} + 24

Scambia i lati

- 12 x^{2} + 24 = 2 x

Spostare

2 x

a sinistra dell'equazione

- 12 x^{2} + 24 = 2 x

Sottrarre

2 x

da entrambi i lati

- 12 x^{2} + 24 - 2 x = 2 x - 2 x

Semplificare

- 12 x^{2} + 24 - 2 x = 0

- 12 x^{2} + 24 - 2 x = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 12 x^{2} - 2 x + 24 = 0

Risolvi con la formula quadratica

- 12 x^{2} - 2 x + 24 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = - 12, b = - 2, c = 24

x_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 12 ) \cdot 24}{2 ( - 12 )}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 12 ) \cdot 24}{2 ( - 12 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 12) \cdot 24 = 34

(- 2)^{2} - 4 (- 12) \cdot 24

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 12 \cdot 24

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 12 \cdot 24

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 12 \cdot 24 = 1152

= 2^{2} + 1152

2^{2} = 4

= 4 + 1152

Aggiungi i numeri:

4 + 1152 = 1156

= 1156

Fattorizzare il numero:

1156 = 3 4^{2}

= 3 4^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

3 4^{2} = 34

= 34

x_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 34}{2 ( - 12 )}

Separare le soluzioni

x_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 34}{2 ( - 12 )}, x_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 34}{2 ( - 12 )}

x = \frac{- ( - 2 ) + 34}{2 ( - 12 )} : - \frac{3}{2}

\frac{- ( - 2 ) + 34}{2 ( - 12 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 34}{- 2 \cdot 12}

Aggiungi i numeri:

2 + 34 = 36

= \frac{36}{- 2 \cdot 12}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 12 = 24

= \frac{36}{- 24}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{36}{24}

Cancella il fattore comune:

12

= - \frac{3}{2}

x = \frac{- ( - 2 ) - 34}{2 ( - 12 )} : \frac{4}{3}

\frac{- ( - 2 ) - 34}{2 ( - 12 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 34}{- 2 \cdot 12}

Sottrai i numeri:

2 - 34 = - 32

= \frac{- 32}{- 2 \cdot 12}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 12 = 24

= \frac{- 32}{- 24}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{32}{24}

Cancella il fattore comune:

8

= \frac{4}{3}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

x = - \frac{3}{2}, x = \frac{4}{3}

x = - \frac{3}{2}, x = \frac{4}{3}

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

x = - 2, x = 2

Prendere il denominatore (i) dell'

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )}

e confrontare con zero

Risolvi

1 - (x + 1) (x - 1) = 0 : x = - 2, x = 2

1 - (x + 1) (x - 1) = 0

Espandere

1 - (x + 1) (x - 1) : - x^{2} + 2

1 - (x + 1) (x - 1)

Espandi

- (x + 1) (x - 1) : - x^{2} + 1

Espandi

(x + 1) (x - 1) : x^{2} - 1

(x + 1) (x - 1)

Applicare la formula differenza di due quadrati:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = x, b = 1

= x^{2} - 1^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= x^{2} - 1

= - (x^{2} - 1)

Distribuire le parentesi

= - (x^{2}) - (- 1)

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a, - (a) = - a

= - x^{2} + 1

= 1 - x^{2} + 1

Semplifica

1 - x^{2} + 1 : - x^{2} + 2

1 - x^{2} + 1

Raggruppa termini simili

= - x^{2} + 1 + 1

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= - x^{2} + 2

= - x^{2} + 2

- x^{2} + 2 = 0

Risolvi con la formula quadratica

- x^{2} + 2 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = - 1, b = 0, c = 2

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 2}{2 ( - 1 )}

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 2}{2 ( - 1 )}

0^{2} - 4 (- 1) \cdot 2 = 22

0^{2} - 4 (- 1) \cdot 2

Applicare la regola

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 0 - 4 (- 1) \cdot 2

Applicare la regola

- (- a) = a

= 0 + 4 \cdot 1 \cdot 2

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 0 + 8

Aggiungi i numeri:

0 + 8 = 8

= 8

Fattorizzazione prima di

8 : 2^{3}

8

8

diviso per

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

diviso per

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

è un numero primo, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Applicare la regola della radice:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 2 2}{2 ( - 1 )}

Separare le soluzioni

x_{1} = \frac{- 0 + 2 2}{2 ( - 1 )}, x_{2} = \frac{- 0 - 2 2}{2 ( - 1 )}

x = \frac{- 0 + 2 2}{2 ( - 1 )} : - 2

\frac{- 0 + 2 2}{2 ( - 1 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= \frac{- 0 + 2 2}{- 2 \cdot 1}

- 0 + 22 = 22

= \frac{2 2}{- 2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 2}{- 2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 2}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= - 2

x = \frac{- 0 - 2 2}{2 ( - 1 )} : 2

\frac{- 0 - 2 2}{2 ( - 1 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= \frac{- 0 - 2 2}{- 2 \cdot 1}

- 0 - 22 = - 22

= \frac{- 2 2}{- 2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 2}{- 2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2 2}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= 2

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

x = - 2, x = 2

I seguenti punti sono non definiti

x = - 2, x = 2

Combinare punti non definiti con soluzioni:

x = - \frac{3}{2}, x = \frac{4}{3}

x = - \frac{3}{2}, x = \frac{4}{3}

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

arctan (x + 1) + arctan (x - 1) = arctan (12)

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

- \frac{3}{2} :

Falso

- \frac{3}{2}

Inserire in

n = 1

- \frac{3}{2}

Per

arctan (x + 1) + arctan (x - 1) = arctan (12)

inserisci la

x = - \frac{3}{2}

arctan (- \frac{3}{2} + 1) + arctan (- \frac{3}{2} - 1) = arctan (12)

Affinare

- 1.65393 \dots = 1.48765 \dots

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

\frac{4}{3} :

Vero

\frac{4}{3}

Inserire in

n = 1

\frac{4}{3}

Per

arctan (x + 1) + arctan (x - 1) = arctan (12)

inserisci la

x = \frac{4}{3}

arctan (\frac{4}{3} + 1) + arctan (\frac{4}{3} - 1) = arctan (12)

Affinare

1.48765 \dots = 1.48765 \dots

\Rightarrow Vero

x = \frac{4}{3}

Grafico

Esempi popolari

tan^2(x)-3.31tan(x)+1.55=0

tan^{2} (x) - 3.31 tan (x) + 1.55 = 0

2sec(x)+2=6

2 sec (x) + 2 = 6

14928=(18177)/((1+0.387cos(x)))

14928 = \frac{18177}{( 1 + 0.387 cos ( x ) )}

sec^2(x)-2=0,0<= x<= 2pi

sec^{2} (x) - 2 = 0, 0 \leq x \leq 2 π

1/2 =sin(2θ)

\frac{1}{2} = sin (2 θ)