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beweisen sec(2x)=(sec^2(x))/(2-sec^2(x))

Lösung

beweisen

sec (2 x) = \frac{sec ^{2} ( x )}{2 - sec ^{2} ( x )}

Wahr

Schritte zur Lösung

sec (2 x) = \frac{sec ^{2} ( x )}{2 - sec ^{2} ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{sec ^{2} ( x )}{2 - sec ^{2} ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{sec ^{2} ( x )}{2 - sec ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{2 - ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{2 - ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}} : \frac{1}{2 cos ^{2} ( x ) - 1}

\frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{2 - ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{2 - \frac{1}{c o s ^{2} ( x )}}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{1}{c o s ^{2} ( x )}}{2 - \frac{1}{c o s ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{cos ^{2} ( x ) ( 2 - \frac{1}{c o s ^{2} ( x )} )}

Füge

2 - \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{2 cos ^{2} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

2 - \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 = \frac{2 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ^{2} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1}{\frac{2 c o s ^{2} ( x ) - 1}{c o s ^{2} ( x )} cos ^{2} ( x )}

Multipliziere

cos^{2} (x) \frac{2 cos ^{2} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} : 2 cos^{2} (x) - 1

cos^{2} (x) \frac{2 cos ^{2} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 2 cos ^{2} ( x ) - 1 ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (x)

= 2 cos^{2} (x) - 1

= \frac{1}{2 cos ^{2} ( x ) - 1}

= \frac{1}{2 cos ^{2} ( x ) - 1}

= \frac{1}{- 1 + 2 cos ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1}{- 1 + 2 cos ^{2} ( x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

2 cos^{2} (x) - 1 = cos (2 x)

= \frac{1}{cos ( 2 x )}

= \frac{1}{cos ( 2 x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( 2 x )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( 2 x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( 2 x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec (2 x)

sec (2 x)

sec (2 x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e tan (a) + cot (a) = sec (a) csc (a)

p ro v e (1 - sin (x)) (1 + sin (x)) = cos^{2} (x)

p ro v e (csc^{2} (x) - 1) sin (x) = cos^{2} (x) csc (x)

p ro v e sin (x) cot (x) = cos (x)

p ro v e sin (π + x) = - sin (x)