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Beliebt Trigonometrie >

beweisen sin(15)=sqrt((1-cos(30))/2)

Lösung

beweisen

sin (1 5^{\circ}) = \frac{1 - cos ( 3 0 ^{\circ} )}{2}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (1 5^{\circ}) = \frac{1 - cos ( 3 0 ^{\circ} )}{2}

Manipuliere die linke Seite

sin (1 5^{\circ})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (1 5^{\circ})

= sin (\frac{3 0 ^{\circ}}{2})

Verwende die Halbwinkel Identität:

sin (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{2}

Verwende die Doppelwinkelidentität

cos (2 θ) = 1 - 2 sin^{2} (θ)

Ersetze

θ

mit

\frac{θ}{2}

cos (θ) = 1 - 2 sin^{2} (\frac{θ}{2})

Tausche die Seiten

2 sin^{2} (\frac{θ}{2}) = 1 - cos (θ)

Teile beide Seiten durch

2

sin^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{( 1 - cos ( θ ) )}{2}

Square root both sides

Choose the root sign according to the quadrant of

\frac{θ}{2}

range [0, 9 0^{\circ}] [9 0^{\circ}, 18 0^{\circ}] [18 0^{\circ}, 27 0^{\circ}] [27 0^{\circ}, 36 0^{\circ}] quadrant I II III I V sin positive positive negative negative cos positive negative negative positive

sin (\frac{θ}{2}) = \frac{( 1 - cos ( θ ) )}{2}

\frac{1 - cos ( 3 0 ^{\circ} )}{2} = \frac{2 - 3}{2}

\frac{1 - cos ( 3 0 ^{\circ} )}{2}

\frac{1 - cos ( 3 0 ^{\circ} )}{2} = \frac{2 - 3}{4}

\frac{1 - cos ( 3 0 ^{\circ} )}{2}

1 - cos (3 0^{\circ}) = 1 - \frac{3}{2}

1 - cos (3 0^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (3 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 1 - \frac{3}{2}

= \frac{1 - \frac{3}{2}}{2}

Füge

1 - \frac{3}{2}

zusammen:

\frac{2 - 3}{2}

1 - \frac{3}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 - 3}{2}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 - 3}{2}

= \frac{\frac{2 - 3}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2 - 3}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 - 3}{4}

= \frac{2 - 3}{4}

Vereinfache

\frac{2 - 3}{4}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{2 - 3}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{2 - 3}{2}

= \frac{2 - 3}{2}

= \frac{2 - 3}{2}

= \frac{2 - 3}{2}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{1 - cos ( 3 0 ^{\circ} )}{2}

Vereinfache

\frac{1 - cos ( 3 0 ^{\circ} )}{2} : \frac{2 - 3}{2}

\frac{1 - cos ( 3 0 ^{\circ} )}{2}

\frac{1 - cos ( 3 0 ^{\circ} )}{2} = \frac{2 - 3}{4}

\frac{1 - cos ( 3 0 ^{\circ} )}{2}

1 - cos (3 0^{\circ}) = 1 - \frac{3}{2}

1 - cos (3 0^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (3 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 1 - \frac{3}{2}

= \frac{1 - \frac{3}{2}}{2}

Füge

1 - \frac{3}{2}

zusammen:

\frac{2 - 3}{2}

1 - \frac{3}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 - 3}{2}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 - 3}{2}

= \frac{\frac{2 - 3}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2 - 3}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 - 3}{4}

= \frac{2 - 3}{4}

Vereinfache

\frac{2 - 3}{4}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{2 - 3}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{2 - 3}{2}

= \frac{2 - 3}{2}

= \frac{2 - 3}{2}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen sin(-1)=-sin(1)

p ro v e sin (- 1) = - sin (1)

beweisen 7(cot^2(x))/(csc(x))sec^2(x)=7tan(x)cos(x)csc^2(x)

p ro v e 7 \frac{cot ^{2} ( x )}{csc ( x )} sec^{2} (x) = 7 tan (x) cos (x) csc^{2} (x)

beweisen cos^2(x)=1+sin^2(x)

p ro v e cos^{2} (x) = 1 + sin^{2} (x)

beweisen cos^2(x)(2+tan^2(x))=2-sin^2(x)

p ro v e cos^{2} (x) (2 + tan^{2} (x)) = 2 - sin^{2} (x)

beweisen sin(x)(1+cos(2x))=sin(2x)cos(x)

p ro v e sin (x) (1 + cos (2 x)) = sin (2 x) cos (x)