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Beliebt Trigonometrie >

tan(2x)+sec(2x)=4

Lösung

tan (2 x) + sec (2 x) = 4

Lösung

x = \frac{1.08083 \dots}{2} + πn

Grad

x = 30.96375 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

tan (2 x) + sec (2 x) = 4

Subtrahiere

4

von beiden Seiten

tan (2 x) + sec (2 x) - 4 = 0

Drücke mit sin, cos aus

\frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} + \frac{1}{cos ( 2 x )} - 4 = 0

Vereinfache

\frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} + \frac{1}{cos ( 2 x )} - 4 : \frac{sin ( 2 x ) + 1 - 4 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

\frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} + \frac{1}{cos ( 2 x )} - 4

Ziehe Brüche zusammen

\frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} + \frac{1}{cos ( 2 x )} : \frac{sin ( 2 x ) + 1}{cos ( 2 x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( 2 x ) + 1}{cos ( 2 x )}

= \frac{sin ( 2 x ) + 1}{cos ( 2 x )} - 4

Wandle das Element in einen Bruch um:

4 = \frac{4 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{sin ( 2 x ) + 1}{cos ( 2 x )} - \frac{4 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( 2 x ) + 1 - 4 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

\frac{sin ( 2 x ) + 1 - 4 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (2 x) + 1 - 4 cos (2 x) = 0

Füge

4 cos (2 x)

zu beiden Seiten hinzu

sin (2 x) + 1 = 4 cos (2 x)

Quadriere beide Seiten

(sin (2 x) + 1)^{2} = (4 cos (2 x))^{2}

Subtrahiere

(4 cos (2 x))^{2}

von beiden Seiten

(sin (2 x) + 1)^{2} - 16 cos^{2} (2 x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(1 + sin (2 x))^{2} - 16 cos^{2} (2 x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (1 + sin (2 x))^{2} - 16 (1 - sin^{2} (2 x))

Vereinfache

(1 + sin (2 x))^{2} - 16 (1 - sin^{2} (2 x)) : 17 sin^{2} (2 x) + 2 sin (2 x) - 15

(1 + sin (2 x))^{2} - 16 (1 - sin^{2} (2 x))

(1 + sin (2 x))^{2} : 1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 1, b = sin (2 x)

= 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

Vereinfache

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (2 x) + sin^{2} (2 x) : 1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 + 2 \cdot 1 \cdot sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

= 1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

= 1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 16 (1 - sin^{2} (2 x))

Multipliziere aus

- 16 (1 - sin^{2} (2 x)) : - 16 + 16 sin^{2} (2 x)

- 16 (1 - sin^{2} (2 x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 16, b = 1, c = sin^{2} (2 x)

= - 16 \cdot 1 - (- 16) sin^{2} (2 x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 16 \cdot 1 + 16 sin^{2} (2 x)

Multipliziere die Zahlen:

16 \cdot 1 = 16

= - 16 + 16 sin^{2} (2 x)

= 1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 16 + 16 sin^{2} (2 x)

Vereinfache

1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 16 + 16 sin^{2} (2 x) : 17 sin^{2} (2 x) + 2 sin (2 x) - 15

1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 16 + 16 sin^{2} (2 x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) + 16 sin^{2} (2 x) + 1 - 16

Addiere gleiche Elemente:

sin^{2} (2 x) + 16 sin^{2} (2 x) = 17 sin^{2} (2 x)

= 2 sin (2 x) + 17 sin^{2} (2 x) + 1 - 16

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

1 - 16 = - 15

= 17 sin^{2} (2 x) + 2 sin (2 x) - 15

= 17 sin^{2} (2 x) + 2 sin (2 x) - 15

= 17 sin^{2} (2 x) + 2 sin (2 x) - 15

- 15 + 17 sin^{2} (2 x) + 2 sin (2 x) = 0

Löse mit Substitution

- 15 + 17 sin^{2} (2 x) + 2 sin (2 x) = 0

Angenommen:

sin (2 x) = u

- 15 + 17 u^{2} + 2 u = 0

- 15 + 17 u^{2} + 2 u = 0 : u = \frac{15}{17}, u = - 1

- 15 + 17 u^{2} + 2 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

17 u^{2} + 2 u - 15 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

17 u^{2} + 2 u - 15 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 17, b = 2, c = - 15

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 17 ( - 15 )}{2 \cdot 17}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 17 ( - 15 )}{2 \cdot 17}

2^{2} - 4 \cdot 17 (- 15) = 32

2^{2} - 4 \cdot 17 (- 15)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 17 \cdot 15

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 17 \cdot 15 = 1020

= 2^{2} + 1020

2^{2} = 4

= 4 + 1020

Addiere die Zahlen:

4 + 1020 = 1024

= 1024

Faktorisiere die Zahl:

1024 = 3 2^{2}

= 3 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3 2^{2} = 32

= 32

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 32}{2 \cdot 17}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 32}{2 \cdot 17}, u_{2} = \frac{- 2 - 32}{2 \cdot 17}

u = \frac{- 2 + 32}{2 \cdot 17} : \frac{15}{17}

\frac{- 2 + 32}{2 \cdot 17}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 2 + 32 = 30

= \frac{30}{2 \cdot 17}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 17 = 34

= \frac{30}{34}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{15}{17}

u = \frac{- 2 - 32}{2 \cdot 17} : - 1

\frac{- 2 - 32}{2 \cdot 17}

Subtrahiere die Zahlen:

- 2 - 32 = - 34

= \frac{- 34}{2 \cdot 17}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 17 = 34

= \frac{- 34}{34}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{34}{34}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{15}{17}, u = - 1

Setze in

u = sin (2 x)

ein

sin (2 x) = \frac{15}{17}, sin (2 x) = - 1

sin (2 x) = \frac{15}{17}, sin (2 x) = - 1

sin (2 x) = \frac{15}{17} : x = \frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + πn

sin (2 x) = \frac{15}{17}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (2 x) = \frac{15}{17}

Allgemeine Lösung für

sin (2 x) = \frac{15}{17}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

2 x = arcsin (\frac{15}{17}) + 2 πn, 2 x = π - arcsin (\frac{15}{17}) + 2 πn

2 x = arcsin (\frac{15}{17}) + 2 πn, 2 x = π - arcsin (\frac{15}{17}) + 2 πn

Löse

2 x = arcsin (\frac{15}{17}) + 2 πn : x = \frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + πn

2 x = arcsin (\frac{15}{17}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = arcsin (\frac{15}{17}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

x = \frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + πn

x = \frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + πn

Löse

2 x = π - arcsin (\frac{15}{17}) + 2 πn : x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + πn

2 x = π - arcsin (\frac{15}{17}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = π - arcsin (\frac{15}{17}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + πn

x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + πn

x = \frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + πn

sin (2 x) = - 1 : x = \frac{3 π}{4} + πn

sin (2 x) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (2 x) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Löse

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn : x = \frac{3 π}{4} + πn

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{3 π}{4} + πn

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} = \frac{3 π}{4}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + πn, x = \frac{3 π}{4} + πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

tan (2 x) + sec (2 x) = 4

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + πn :

Wahr

\frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + πn

Setze ein

n = 1

\frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + π 1

Setze

x = \frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + π 1

tan (2 x) + sec (2 x) = 4

ein, um zu lösen

tan (2 (\frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + π 1)) + sec (2 (\frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + π 1)) = 4

Fasse zusammen

4 = 4

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + πn :

Falsch

\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + π 1

Setze

x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + π 1

tan (2 x) + sec (2 x) = 4

ein, um zu lösen

tan (2 (\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + π 1)) + sec (2 (\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + π 1)) = 4

Fasse zusammen

- 4 = 4

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

\frac{3 π}{4} + πn :

Falsch

\frac{3 π}{4} + πn

Setze ein

n = 1

\frac{3 π}{4} + π 1

Setze

x = \frac{3 π}{4} + π 1

tan (2 x) + sec (2 x) = 4

ein, um zu lösen

tan (2 (\frac{3 π}{4} + π 1)) + sec (2 (\frac{3 π}{4} + π 1)) = 4

Unbestimmt

\Rightarrow Falsch

x = \frac{arcsin ( \frac{15}{17} )}{2} + πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = \frac{1.08083 \dots}{2} + πn

Graph

Beliebte Beispiele

sqrt(3)tan(θ-20)=tan^2(45)

3 tan (θ - 2 0^{\circ}) = tan^{2} (4 5^{\circ})

0=-2sin(x)-4cos(2x)

0 = - 2 sin (x) - 4 cos (2 x)

-0.1429=cos(C)

- 0.1429 = cos (C)

sin(4θ)=0.345

sin (4 θ) = 0.345

-3=cot^2(x)+3csc(x)

- 3 = cot^{2} (x) + 3 csc (x)