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Popolare Trigonometria >

2sec(2x)+tan(2x)-3=0

Soluzione

2 sec (2 x) + tan (2 x) - 3 = 0

Soluzione

x = \frac{0.56432 \dots}{2} + πn, x = - \frac{1.20782 \dots}{2} + πn

Gradi

x = 16.16676 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = - 34.60171 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

2 sec (2 x) + tan (2 x) - 3 = 0

Esprimere con sen e cos

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 x )} + \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3 = 0

Semplifica

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 x )} + \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3 : \frac{2 + sin ( 2 x ) - 3 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 x )} + \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 x )} = \frac{2}{cos ( 2 x )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 x )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{cos ( 2 x )}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{cos ( 2 x )}

= \frac{2}{cos ( 2 x )} + \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3

Combinare le frazioni

\frac{2}{cos ( 2 x )} + \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} : \frac{2 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{sin ( 2 x ) + 2}{cos ( 2 x )} - 3

Converti l'elemento in frazione:

3 = \frac{3 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{2 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - \frac{3 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + sin ( 2 x ) - 3 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

\frac{2 + sin ( 2 x ) - 3 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 + sin (2 x) - 3 cos (2 x) = 0

Aggiungi

3 cos (2 x)

ad entrambi i lati

2 + sin (2 x) = 3 cos (2 x)

Eleva entrambi i lati al quadrato

(2 + sin (2 x))^{2} = (3 cos (2 x))^{2}

Sottrarre

(3 cos (2 x))^{2}

da entrambi i lati

(2 + sin (2 x))^{2} - 9 cos^{2} (2 x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

(2 + sin (2 x))^{2} - 9 cos^{2} (2 x)

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (2 + sin (2 x))^{2} - 9 (1 - sin^{2} (2 x))

Semplificare

(2 + sin (2 x))^{2} - 9 (1 - sin^{2} (2 x)) : 10 sin^{2} (2 x) + 4 sin (2 x) - 5

(2 + sin (2 x))^{2} - 9 (1 - sin^{2} (2 x))

(2 + sin (2 x))^{2} : 4 + 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

Applicare la formula del quadrato perfetto:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 2, b = sin (2 x)

= 2^{2} + 2 \cdot 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

Semplifica

2^{2} + 2 \cdot 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) : 4 + 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

2^{2} + 2 \cdot 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

2^{2} = 4

= 4 + 2 \cdot 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= 4 + 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

= 4 + 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

= 4 + 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 9 (1 - sin^{2} (2 x))

Espandi

- 9 (1 - sin^{2} (2 x)) : - 9 + 9 sin^{2} (2 x)

- 9 (1 - sin^{2} (2 x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = - 9, b = 1, c = sin^{2} (2 x)

= - 9 \cdot 1 - (- 9) sin^{2} (2 x)

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a

= - 9 \cdot 1 + 9 sin^{2} (2 x)

Moltiplica i numeri:

9 \cdot 1 = 9

= - 9 + 9 sin^{2} (2 x)

= 4 + 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 9 + 9 sin^{2} (2 x)

Semplifica

4 + 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 9 + 9 sin^{2} (2 x) : 10 sin^{2} (2 x) + 4 sin (2 x) - 5

4 + 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 9 + 9 sin^{2} (2 x)

Raggruppa termini simili

= 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) + 9 sin^{2} (2 x) + 4 - 9

Aggiungi elementi simili:

sin^{2} (2 x) + 9 sin^{2} (2 x) = 10 sin^{2} (2 x)

= 4 sin (2 x) + 10 sin^{2} (2 x) + 4 - 9

Aggiungi/Sottrai i numeri:

4 - 9 = - 5

= 10 sin^{2} (2 x) + 4 sin (2 x) - 5

= 10 sin^{2} (2 x) + 4 sin (2 x) - 5

= 10 sin^{2} (2 x) + 4 sin (2 x) - 5

- 5 + 10 sin^{2} (2 x) + 4 sin (2 x) = 0

Risolvi per sostituzione

- 5 + 10 sin^{2} (2 x) + 4 sin (2 x) = 0

Sia:

sin (2 x) = u

- 5 + 10 u^{2} + 4 u = 0

- 5 + 10 u^{2} + 4 u = 0 : u = \frac{- 2 + 3 6}{10}, u = - \frac{2 + 3 6}{10}

- 5 + 10 u^{2} + 4 u = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

10 u^{2} + 4 u - 5 = 0

Risolvi con la formula quadratica

10 u^{2} + 4 u - 5 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 10, b = 4, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 10 ( - 5 )}{2 \cdot 10}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 10 ( - 5 )}{2 \cdot 10}

4^{2} - 4 \cdot 10 (- 5) = 66

4^{2} - 4 \cdot 10 (- 5)

Applicare la regola

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 10 \cdot 5

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 10 \cdot 5 = 200

= 4^{2} + 200

4^{2} = 16

= 16 + 200

Aggiungi i numeri:

16 + 200 = 216

= 216

Fattorizzazione prima di

216 : 2^{3} \cdot 3^{3}

216

216

diviso per

2216 = 108 \cdot 2

= 2 \cdot 108

108

diviso per

2108 = 54 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 54

54

diviso per

254 = 27 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 27

27

diviso per

327 = 9 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 9

9

diviso per

39 = 3 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3^{3}

= 2^{3} \cdot 3^{3}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 2 \cdot 3

Applicare la regola della radice:

n ab = n a n b

= 2^{2} 3^{2} 2 \cdot 3

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 3^{2} 2 \cdot 3

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2 \cdot 3 2 \cdot 3

Affinare

= 66

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 6 6}{2 \cdot 10}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- 4 + 6 6}{2 \cdot 10}, u_{2} = \frac{- 4 - 6 6}{2 \cdot 10}

u = \frac{- 4 + 6 6}{2 \cdot 10} : \frac{- 2 + 3 6}{10}

\frac{- 4 + 6 6}{2 \cdot 10}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 4 + 6 6}{20}

Fattorizza

- 4 + 66 : 2 (- 2 + 36)

- 4 + 66

Riscrivi come

= - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 36

Fattorizzare dal termine comune

2

= 2 (- 2 + 36)

= \frac{2 ( - 2 + 3 6 )}{20}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{- 2 + 3 6}{10}

u = \frac{- 4 - 6 6}{2 \cdot 10} : - \frac{2 + 3 6}{10}

\frac{- 4 - 6 6}{2 \cdot 10}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 4 - 6 6}{20}

Fattorizza

- 4 - 66 : - 2 (2 + 36)

- 4 - 66

Riscrivi come

= - 2 \cdot 2 - 2 \cdot 36

Fattorizzare dal termine comune

2

= - 2 (2 + 36)

= - \frac{2 ( 2 + 3 6 )}{20}

Cancella il fattore comune:

2

= - \frac{2 + 3 6}{10}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = \frac{- 2 + 3 6}{10}, u = - \frac{2 + 3 6}{10}

Sostituire indietro

u = sin (2 x)

sin (2 x) = \frac{- 2 + 3 6}{10}, sin (2 x) = - \frac{2 + 3 6}{10}

sin (2 x) = \frac{- 2 + 3 6}{10}, sin (2 x) = - \frac{2 + 3 6}{10}

sin (2 x) = \frac{- 2 + 3 6}{10} : x = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

sin (2 x) = \frac{- 2 + 3 6}{10}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

sin (2 x) = \frac{- 2 + 3 6}{10}

Soluzioni generali per

sin (2 x) = \frac{- 2 + 3 6}{10}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

2 x = arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, 2 x = π - arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

2 x = arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, 2 x = π - arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Risolvi

2 x = arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn : x = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

2 x = arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 x = arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

x = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

x = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Risolvi

2 x = π - arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn : x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

2 x = π - arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 x = π - arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

x = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

sin (2 x) = - \frac{2 + 3 6}{10} : x = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

sin (2 x) = - \frac{2 + 3 6}{10}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

sin (2 x) = - \frac{2 + 3 6}{10}

Soluzioni generali per

sin (2 x) = - \frac{2 + 3 6}{10}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

2 x = arcsin (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn, 2 x = π + arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

2 x = arcsin (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn, 2 x = π + arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Risolvi

2 x = arcsin (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn : x = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

2 x = arcsin (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Semplificare

arcsin (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn : - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

arcsin (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Usare la proprietà seguente:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{2 + 3 6}{10}) = - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10})

= - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

2 x = - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 x = - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

x = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

x = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Risolvi

2 x = π + arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn : x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

2 x = π + arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 x = π + arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

x = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn, x = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

2 sec (2 x) + tan (2 x) - 3 = 0

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

\frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn :

Vero

\frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Inserire in

n = 1

\frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1

Per

2 sec (2 x) + tan (2 x) - 3 = 0

inserisci la

x = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1

2 sec 2 \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1 + tan 2 \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1 - 3 = 0

Affinare

0 = 0

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn :

Falso

\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Inserire in

n = 1

\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1

Per

2 sec (2 x) + tan (2 x) - 3 = 0

inserisci la

x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1

2 sec 2 \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1 + tan 2 \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1 - 3 = 0

Affinare

- 6 = 0

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

- \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn :

Vero

- \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Inserire in

n = 1

- \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1

Per

2 sec (2 x) + tan (2 x) - 3 = 0

inserisci la

x = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1

2 sec 2 - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1 + tan 2 - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1 - 3 = 0

Affinare

0 = 0

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

\frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn :

Falso

\frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Inserire in

n = 1

\frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1

Per

2 sec (2 x) + tan (2 x) - 3 = 0

inserisci la

x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1

2 sec 2 \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1 + tan 2 \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1 - 3 = 0

Affinare

- 6 = 0

\Rightarrow Falso

x = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn, x = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Mostra le soluzioni in forma decimale

x = \frac{0.56432 \dots}{2} + πn, x = - \frac{1.20782 \dots}{2} + πn

Grafico

Esempi popolari

solvefor x,5=9.4cos(x)

so l v e f or x, 5 = 9.4 cos (x)

20=2.891sin(0.016d-1.183)+18.512

20 = 2.891 sin (0.016 d - 1.183) + 18.512

2sin(θ)=-1,0<= θ<2pi

2 sin (θ) = - 1, 0 \leq θ < 2 π

cos(16x)=0

cos (16 x) = 0

sin(θ)=-(sqrt(35))/6

sin (θ) = - \frac{35}{6}