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Popular Trigonometria >

(sec(B)+csc(B))/(1+tan(B))=csc^2(B)

Solução

\frac{sec ( B ) + csc ( B )}{1 + tan ( B )} = csc^{2} (B)

Solução

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o para B \in R

Passos da solução

\frac{sec ( B ) + csc ( B )}{1 + tan ( B )} = csc^{2} (B)

Subtrair

csc^{2} (B)

de ambos os lados

\frac{sec ( B ) + csc ( B )}{1 + tan ( B )} - csc^{2} (B) = 0

Simplificar

\frac{sec ( B ) + csc ( B )}{1 + tan ( B )} - csc^{2} (B) : \frac{sec ( B ) + csc ( B ) - csc ^{2} ( B ) ( 1 + tan ( B ) )}{1 + tan ( B )}

\frac{sec ( B ) + csc ( B )}{1 + tan ( B )} - csc^{2} (B)

Converter para fração:

csc^{2} (B) = \frac{csc ^{2} ( B ) ( 1 + tan ( B ) )}{1 + tan ( B )}

= \frac{sec ( B ) + csc ( B )}{1 + tan ( B )} - \frac{csc ^{2} ( B ) ( 1 + tan ( B ) )}{1 + tan ( B )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sec ( B ) + csc ( B ) - csc ^{2} ( B ) ( 1 + tan ( B ) )}{1 + tan ( B )}

\frac{sec ( B ) + csc ( B ) - csc ^{2} ( B ) ( 1 + tan ( B ) )}{1 + tan ( B )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sec (B) + csc (B) - csc^{2} (B) (1 + tan (B)) = 0

Expresar com seno, cosseno

csc (B) + sec (B) - (1 + tan (B)) csc^{2} (B)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( B )} + sec (B) - (1 + tan (B)) (\frac{1}{sin ( B )})^{2}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{sin ( B )} + \frac{1}{cos ( B )} - (1 + tan (B)) (\frac{1}{sin ( B )})^{2}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{sin ( B )} + \frac{1}{cos ( B )} - (1 + \frac{sin ( B )}{cos ( B )}) (\frac{1}{sin ( B )})^{2}

Simplificar

\frac{1}{sin ( B )} + \frac{1}{cos ( B )} - (1 + \frac{sin ( B )}{cos ( B )}) (\frac{1}{sin ( B )})^{2} : \frac{sin ( B ) cos ( B ) + sin ^{2} ( B ) - cos ( B ) - sin ( B )}{sin ^{2} ( B ) cos ( B )}

\frac{1}{sin ( B )} + \frac{1}{cos ( B )} - (1 + \frac{sin ( B )}{cos ( B )}) (\frac{1}{sin ( B )})^{2}

(1 + \frac{sin ( B )}{cos ( B )}) (\frac{1}{sin ( B )})^{2} = \frac{cos ( B ) + sin ( B )}{sin ^{2} ( B ) cos ( B )}

(1 + \frac{sin ( B )}{cos ( B )}) (\frac{1}{sin ( B )})^{2}

Simplificar

1 + \frac{sin ( B )}{cos ( B )}

em uma fração:

\frac{cos ( B ) + sin ( B )}{cos ( B )}

1 + \frac{sin ( B )}{cos ( B )}

Converter para fração:

1 = \frac{1 cos ( B )}{cos ( B )}

= \frac{1 \cdot cos ( B )}{cos ( B )} + \frac{sin ( B )}{cos ( B )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( B ) + sin ( B )}{cos ( B )}

Multiplicar:

1 \cdot cos (B) = cos (B)

= \frac{cos ( B ) + sin ( B )}{cos ( B )}

= (\frac{1}{sin ( B )})^{2} \frac{cos ( B ) + sin ( B )}{cos ( B )}

(\frac{1}{sin ( B )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( B )}

(\frac{1}{sin ( B )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( B )}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( B )}

= \frac{cos ( B ) + sin ( B )}{cos ( B )} \cdot \frac{1}{sin ^{2} ( B )}

Multiplicar frações:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{( cos ( B ) + sin ( B ) ) \cdot 1}{cos ( B ) sin ^{2} ( B )}

(cos (B) + sin (B)) \cdot 1 = cos (B) + sin (B)

(cos (B) + sin (B)) \cdot 1

Multiplicar:

(cos (B) + sin (B)) \cdot 1 = (cos (B) + sin (B))

= (cos (B) + sin (B))

Remover os parênteses:

(a) = a

= cos (B) + sin (B)

= \frac{cos ( B ) + sin ( B )}{sin ^{2} ( B ) cos ( B )}

= \frac{1}{sin ( B )} + \frac{1}{cos ( B )} - \frac{cos ( B ) + sin ( B )}{sin ^{2} ( B ) cos ( B )}

Mínimo múltiplo comum de

sin (B), cos (B), cos (B) sin^{2} (B) : sin^{2} (B) cos (B)

sin (B), cos (B), cos (B) sin^{2} (B)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes em ao menos uma das expressões fatoradas

= sin^{2} (B) cos (B)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{1}{sin ( B )} :

multiplique o numerador e o denominador por

sin (B) cos (B)

\frac{1}{sin ( B )} = \frac{1 \cdot sin ( B ) cos ( B )}{sin ( B ) sin ( B ) cos ( B )} = \frac{sin ( B ) cos ( B )}{sin ^{2} ( B ) cos ( B )}

Para

\frac{1}{cos ( B )} :

multiplique o numerador e o denominador por

sin^{2} (B)

\frac{1}{cos ( B )} = \frac{1 \cdot sin ^{2} ( B )}{cos ( B ) sin ^{2} ( B )} = \frac{sin ^{2} ( B )}{sin ^{2} ( B ) cos ( B )}

= \frac{sin ( B ) cos ( B )}{sin ^{2} ( B ) cos ( B )} + \frac{sin ^{2} ( B )}{sin ^{2} ( B ) cos ( B )} - \frac{cos ( B ) + sin ( B )}{sin ^{2} ( B ) cos ( B )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( B ) cos ( B ) + sin ^{2} ( B ) - ( cos ( B ) + sin ( B ) )}{sin ^{2} ( B ) cos ( B )}

- (cos (B) + sin (B)) : - cos (B) - sin (B)

- (cos (B) + sin (B))

Colocar os parênteses

= - (cos (B)) - (sin (B))

Aplicar as regras dos sinais

+ (- a) = - a

= - cos (B) - sin (B)

= \frac{sin ( B ) cos ( B ) + sin ^{2} ( B ) - cos ( B ) - sin ( B )}{sin ^{2} ( B ) cos ( B )}

= \frac{sin ( B ) cos ( B ) + sin ^{2} ( B ) - cos ( B ) - sin ( B )}{sin ^{2} ( B ) cos ( B )}

\frac{- cos ( B ) - sin ( B ) + sin ^{2} ( B ) + cos ( B ) sin ( B )}{cos ( B ) sin ^{2} ( B )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- cos (B) - sin (B) + sin^{2} (B) + cos (B) sin (B) = 0

Fatorar

- cos (B) - sin (B) + sin^{2} (B) + cos (B) sin (B) : (sin (B) + cos (B)) (sin (B) - 1)

- cos (B) - sin (B) + sin^{2} (B) + cos (B) sin (B)

= (- sin (B) - cos (B)) + (sin^{2} (B) + sin (B) cos (B))

Fatorar

sin (B)

sin^{2} (B) + sin (B) cos (B)

sin (B) (sin (B) + cos (B))

sin^{2} (B) + sin (B) cos (B)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (B) = sin (B) sin (B)

= sin (B) sin (B) + sin (B) cos (B)

Fatorar o termo comum

sin (B)

= sin (B) (sin (B) + cos (B))

Fatorar

- 1

- sin (B) - cos (B)

- (sin (B) + cos (B))

- sin (B) - cos (B)

Fatorar o termo comum

- 1

= - (sin (B) + cos (B))

= sin (B) (sin (B) + cos (B)) - (sin (B) + cos (B))

Fatorar o termo comum

sin (B) + cos (B)

= (sin (B) + cos (B)) (sin (B) - 1)

(sin (B) + cos (B)) (sin (B) - 1) = 0

Resolver cada parte separadamente

sin (B) + cos (B) = 0 or sin (B) - 1 = 0

sin (B) + cos (B) = 0 : B = \frac{3 π}{4} + πn

sin (B) + cos (B) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

sin (B) + cos (B) = 0

Dividir ambos os lados por

cos (B), cos (B) \neq = 0

\frac{sin ( B ) + cos ( B )}{cos ( B )} = \frac{0}{cos ( B )}

Simplificar

\frac{sin ( B )}{cos ( B )} + 1 = 0

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (B) + 1 = 0

tan (B) + 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

tan (B) + 1 = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

tan (B) + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

tan (B) = - 1

tan (B) = - 1

Soluções gerais para

tan (B) = - 1

tan (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

B = \frac{3 π}{4} + πn

B = \frac{3 π}{4} + πn

sin (B) - 1 = 0 : B = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (B) - 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

sin (B) - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

sin (B) - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

sin (B) = 1

sin (B) = 1

Soluções gerais para

sin (B) = 1

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

B = \frac{π}{2} + 2 πn

B = \frac{π}{2} + 2 πn

Combinar toda as soluções

B = \frac{3 π}{4} + πn, B = \frac{π}{2} + 2 πn

Dado que a equação é indefinida para:

\frac{3 π}{4} + πn, \frac{π}{2} + 2 πn

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o para B \in R

Gráfico

Exemplos populares

4=sqrt(2)csc(3x)

4 = 2 csc (3 x)

21=24+8cos((pix)/6)

21 = 24 + 8 cos (\frac{π x}{6})

sin(x)=(16sin(31))/(12)

sin (x) = \frac{16 sin ( 3 1 ^{\circ} )}{12}

sinh(z)-cosh(z)=0

sinh (z) - cosh (z) = 0

cos(x)=-1.588908648

cos (x) = - 1.588908648