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Popular Trigonometria >

arctan(x/3)+arctan(x/2)=arctan(x)

Solução

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

Solução

x = 0, x = - 1, x = 1

Passos da solução

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

Subtrair

arctan (x)

de ambos os lados

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) - arctan (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- arctan (x) + arctan (\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}})

Use a identidade da transformação de soma em produto:

arctan (s) - arctan (t) = arctan (\frac{s - t}{1 + s t})

= arctan \frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x}

arctan \frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

arctan \frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = tan (0)

tan (0) = 0

tan (0)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

tan (0) = 0

tan (0)

tan (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= 0

= 0

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

Resolver

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0 : x = 0, x = - 1, x = 1

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

Simplificar

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} : \frac{- x + x ^{3}}{6 + 4 x ^{2}}

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x = \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} = \frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}}

\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x ^{2}}{6}

\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}

Multiplicar frações:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{xx}{3 \cdot 2}

xx = x^{2}

xx

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= x^{1 + 1}

Somar:

1 + 1 = 2

= x^{2}

= \frac{x ^{2}}{3 \cdot 2}

Multiplicar os números:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{x ^{2}}{6}

= \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x ^{2}}{6}}

Simplificar

\frac{x}{3} + \frac{x}{2}

em uma fração:

\frac{5 x}{6}

\frac{x}{3} + \frac{x}{2}

Mínimo múltiplo comum de

3, 2 : 6

3, 2

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Decomposição em fatores primos de

3 : 3

3

3

é um número primo, portanto é possível fatorá-lo

= 3

Decomposição em fatores primos de

2 : 2

2

2

é um número primo, portanto é possível fatorá-lo

= 2

Multiplique cada fator o maior número de vezes que ocorre ou em

3

ou em

2

= 3 \cdot 2

Multiplicar os números:

3 \cdot 2 = 6

= 6

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{x}{3} :

multiplique o numerador e o denominador por

2

\frac{x}{3} = \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{x \cdot 2}{6}

Para

\frac{x}{2} :

multiplique o numerador e o denominador por

3

\frac{x}{2} = \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{x \cdot 3}{6}

= \frac{x \cdot 2}{6} + \frac{x \cdot 3}{6}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x \cdot 2 + x \cdot 3}{6}

Somar elementos similares:

2 x + 3 x = 5 x

= \frac{5 x}{6}

= \frac{\frac{5 x}{6}}{1 - \frac{x ^{2}}{6}}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 x}{6 ( 1 - \frac{x ^{2}}{6} )}

Simplificar

1 - \frac{x ^{2}}{6}

em uma fração:

\frac{6 - x ^{2}}{6}

1 - \frac{x ^{2}}{6}

Converter para fração:

1 = \frac{1 \cdot 6}{6}

= \frac{1 \cdot 6}{6} - \frac{x ^{2}}{6}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 6 - x ^{2}}{6}

Multiplicar os números:

1 \cdot 6 = 6

= \frac{6 - x ^{2}}{6}

= \frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}}

= \frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}} x

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 xx}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

5 xx = 5 x^{2}

5 xx

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= 5 x^{1 + 1}

Somar:

1 + 1 = 2

= 5 x^{2}

= \frac{5 x ^{2}}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}}

Multiplicar

6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6} : 6 - x^{2}

6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 6 - x ^{2} ) \cdot 6}{6}

Eliminar o fator comum:

6

= 6 - x^{2}

= \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

= \frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{- \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} + 1} - x}{1 + \frac{5 x ^{2}}{- x ^{2} + 6}}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} = \frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}}

\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x ^{2}}{6}

\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}

Multiplicar frações:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{xx}{3 \cdot 2}

xx = x^{2}

xx

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= x^{1 + 1}

Somar:

1 + 1 = 2

= x^{2}

= \frac{x ^{2}}{3 \cdot 2}

Multiplicar os números:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{x ^{2}}{6}

= \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x ^{2}}{6}}

Simplificar

\frac{x}{3} + \frac{x}{2}

em uma fração:

\frac{5 x}{6}

\frac{x}{3} + \frac{x}{2}

Mínimo múltiplo comum de

3, 2 : 6

3, 2

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Decomposição em fatores primos de

3 : 3

3

3

é um número primo, portanto é possível fatorá-lo

= 3

Decomposição em fatores primos de

2 : 2

2

2

é um número primo, portanto é possível fatorá-lo

= 2

Multiplique cada fator o maior número de vezes que ocorre ou em

3

ou em

2

= 3 \cdot 2

Multiplicar os números:

3 \cdot 2 = 6

= 6

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{x}{3} :

multiplique o numerador e o denominador por

2

\frac{x}{3} = \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{x \cdot 2}{6}

Para

\frac{x}{2} :

multiplique o numerador e o denominador por

3

\frac{x}{2} = \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{x \cdot 3}{6}

= \frac{x \cdot 2}{6} + \frac{x \cdot 3}{6}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x \cdot 2 + x \cdot 3}{6}

Somar elementos similares:

2 x + 3 x = 5 x

= \frac{5 x}{6}

= \frac{\frac{5 x}{6}}{1 - \frac{x ^{2}}{6}}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 x}{6 ( 1 - \frac{x ^{2}}{6} )}

Simplificar

1 - \frac{x ^{2}}{6}

em uma fração:

\frac{6 - x ^{2}}{6}

1 - \frac{x ^{2}}{6}

Converter para fração:

1 = \frac{1 \cdot 6}{6}

= \frac{1 \cdot 6}{6} - \frac{x ^{2}}{6}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 6 - x ^{2}}{6}

Multiplicar os números:

1 \cdot 6 = 6

= \frac{6 - x ^{2}}{6}

= \frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}}

= \frac{\frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}} - x}{1 + \frac{5 x ^{2}}{- x ^{2} + 6}}

Simplificar

1 + \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

em uma fração:

\frac{6 + 4 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

1 + \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

Converter para fração:

1 = \frac{1 ( 6 - x ^{2} )}{6 - x ^{2}}

= \frac{1 \cdot ( 6 - x ^{2} )}{6 - x ^{2}} + \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot ( 6 - x ^{2} ) + 5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

1 \cdot (6 - x^{2}) + 5 x^{2} = 6 + 4 x^{2}

1 \cdot (6 - x^{2}) + 5 x^{2}

1 \cdot (6 - x^{2}) = 6 - x^{2}

1 \cdot (6 - x^{2})

Multiplicar:

1 \cdot (6 - x^{2}) = (6 - x^{2})

= (6 - x^{2})

Remover os parênteses:

(a) = a

= 6 - x^{2}

= 6 - x^{2} + 5 x^{2}

Somar elementos similares:

- x^{2} + 5 x^{2} = 4 x^{2}

= 6 + 4 x^{2}

= \frac{6 + 4 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

= \frac{\frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}} - x}{\frac{6 + 4 x ^{2}}{6 - x ^{2}}}

Simplificar

\frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}} - x

em uma fração:

\frac{- x + x ^{3}}{6 - x ^{2}}

\frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}} - x

Converter para fração:

x = \frac{x 6 \frac{6 - x ^{2}}{6}}{6 \frac{6 - x ^{2}}{6}}

= \frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}} - \frac{x \cdot 6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{5 x - x \cdot 6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

Multiplicar

6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6} : 6 - x^{2}

6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 6 - x ^{2} ) \cdot 6}{6}

Eliminar o fator comum:

6

= 6 - x^{2}

= \frac{5 x - 6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6} x}{6 - x ^{2}}

x \cdot 6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6} = x (6 - x^{2})

x \cdot 6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 6 - x ^{2} ) x \cdot 6}{6}

Eliminar o fator comum:

6

= (6 - x^{2}) x

= \frac{5 x - x ( - x ^{2} + 6 )}{6 - x ^{2}}

Expandir

5 x - (6 - x^{2}) x : - x + x^{3}

5 x - (6 - x^{2}) x

= 5 x - x (6 - x^{2})

Expandir

- x (6 - x^{2}) : - 6 x + x^{3}

- x (6 - x^{2})

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - x, b = 6, c = x^{2}

= - x \cdot 6 - (- x) x^{2}

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a

= - 6 x + x^{2} x

x^{2} x = x^{3}

x^{2} x

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

x^{2} x = x^{2 + 1}

= x^{2 + 1}

Somar:

2 + 1 = 3

= x^{3}

= - 6 x + x^{3}

= 5 x - 6 x + x^{3}

Somar elementos similares:

5 x - 6 x = - x

= - x + x^{3}

= \frac{- x + x ^{3}}{6 - x ^{2}}

= \frac{\frac{- x + x ^{3}}{6 - x ^{2}}}{\frac{6 + 4 x ^{2}}{6 - x ^{2}}}

Dividir frações:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( - x + x ^{3} ) ( 6 - x ^{2} )}{( 6 - x ^{2} ) ( 6 + 4 x ^{2} )}

Eliminar o fator comum:

6 - x^{2}

= \frac{- x + x ^{3}}{6 + 4 x ^{2}}

\frac{- x + x ^{3}}{6 + 4 x ^{2}} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- x + x^{3} = 0

Resolver

- x + x^{3} = 0 : x = 0, x = - 1, x = 1

- x + x^{3} = 0

Fatorar

- x + x^{3} : x (x + 1) (x - 1)

- x + x^{3}

Fatorar o termo comum

x : x (x^{2} - 1)

x^{3} - x

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

x^{3} = x^{2} x

= x^{2} x - x

Fatorar o termo comum

x

= x (x^{2} - 1)

= x (x^{2} - 1)

Fatorar

x^{2} - 1 : (x + 1) (x - 1)

x^{2} - 1

Reescrever

1

como

1^{2}

= x^{2} - 1^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

x^{2} - 1^{2} = (x + 1) (x - 1)

= (x + 1) (x - 1)

= x (x + 1) (x - 1)

x (x + 1) (x - 1) = 0

Usando o princípio do fator zero: Se

ab = 0

então

a = 0

b = 0

x = 0 or x + 1 = 0 or x - 1 = 0

Resolver

x + 1 = 0 : x = - 1

x + 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

x + 1 = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

x + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

x = - 1

x = - 1

Resolver

x - 1 = 0 : x = 1

x - 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

x - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

x - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

x = 1

x = 1

As soluções são

x = 0, x = - 1, x = 1

x = 0, x = - 1, x = 1

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

x = 6, x = - 6

Tomar o(s) denominador(es) de

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x}

e comparar com zero

Resolver

1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = 0 : x = 6, x = - 6

1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = 0

Mova

1

para o lado direito

1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} - 1 = 0 - 1

Simplificar

- \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = - 1

- \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = - 1

Simplificar

- \frac{x ^{2}}{6} = - 1

Multiplicar ambos os lados por

- 6

(- \frac{x ^{2}}{6}) (- 6) = (- 1) (- 6)

x^{2} = 6

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

x = 6, x = - 6

Os seguintes pontos são indefinidos

x = 6, x = - 6

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

x = 0, x = - 1, x = 1

x = 0, x = - 1, x = 1

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

0 :

Verdadeiro

0

Inserir

n = 1

0

Para

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

inserir

x = 0

arctan (\frac{0}{3}) + arctan (\frac{0}{2}) = arctan (0)

Simplificar

0 = 0

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

- 1 :

Verdadeiro

- 1

Inserir

n = 1

- 1

Para

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

inserir

x = - 1

arctan (\frac{- 1}{3}) + arctan (\frac{- 1}{2}) = arctan (- 1)

Simplificar

- 0.78539 \dots = - 0.78539 \dots

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

1 :

Verdadeiro

1

Inserir

n = 1

1

Para

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

inserir

x = 1

arctan (\frac{1}{3}) + arctan (\frac{1}{2}) = arctan (1)

Simplificar

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Verdadeiro

x = 0, x = - 1, x = 1

Gráfico

Exemplos populares

solvefor w,y=arctan(1+4w)

so l v e f or w, y = arctan (1 + 4 w)

cos(8x)=1

cos (8 x) = 1

cos^4(a)=8cos^4(a)-8cos^2(a)+1

cos^{4} (a) = 8 cos^{4} (a) - 8 cos^{2} (a) + 1

sin^2(a)-4sin(a)+3=0

sin^{2} (a) - 4 sin (a) + 3 = 0

4sin^2(x)-4cos(x)-1=0

4 sin^{2} (x) - 4 cos (x) - 1 = 0