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beweisen sin^2(θ)(1+cot^2(θ))=1

Lösung

beweisen

sin^{2} (θ) (1 + cot^{2} (θ)) = 1

Wahr

Schritte zur Lösung

sin^{2} (θ) (1 + cot^{2} (θ)) = 1

Manipuliere die linke Seite

sin^{2} (θ) (1 + cot^{2} (θ))

Drücke mit sin, cos aus

(1 + cot^{2} (θ)) sin^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (1 + (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}) sin^{2} (θ)

Vereinfache

(1 + (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}) sin^{2} (θ) : sin^{2} (θ) + cos^{2} (θ)

(1 + (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}) sin^{2} (θ)

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= sin^{2} (θ) (\frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} + 1)

Füge

1 + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

zusammen:

\frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

1 + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (θ) = sin^{2} (θ)

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} sin^{2} (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) ) sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin^{2} (θ)

= sin^{2} (θ) + cos^{2} (θ)

= sin^{2} (θ) + cos^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= 1

= 1

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

5 cos (6 x) + 6 = 9

sin (- \frac{5 π}{12})

4 sin (2 x) = 4 cos (x)

2 sin (x) - 3 cos (x) = 2

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