beweisen (cos(θ)-sin(θ))^2=1-2cos(θ)sin(θ)

Lösung

beweisen

(cos (θ) - sin (θ))^{2} = 1 - 2 cos (θ) sin (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

(cos (θ) - sin (θ))^{2} = 1 - 2 cos (θ) sin (θ)

Manipuliere die linke Seite

(cos (θ) - sin (θ))^{2}

Multipliziere aus

(cos (θ) - sin (θ))^{2} : cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) sin (θ) + sin^{2} (θ)

(cos (θ) - sin (θ))^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = cos (θ), b = sin (θ)

= cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) sin (θ) + sin^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 2 cos (θ) sin (θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 2 cos (θ) sin (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= 1 - 2 cos (θ) sin (θ)

= 1 - 2 cos (θ) sin (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{csc ^{2} ( θ ) - 1}{cos ^{2} ( θ )} = csc^{2} (θ)

p ro v e sin (- x) + cos (- x) = cos (x) - sin (x)

p ro v e sin (x) + csc (x) cos^{(2)} (x) = csc (x)

p ro v e sin (x) = 2 sin (\frac{x}{2}) cos (\frac{x}{2})

p ro v e \frac{cos ( x )}{sec ( x ) - tan ( x )} = 1 - sin (x)