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beweisen (csc^2(θ)-1)/(cos^2(θ))=csc^2(θ)

Lösung

beweisen

\frac{csc ^{2} ( θ ) - 1}{cos ^{2} ( θ )} = csc^{2} (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{csc ^{2} ( θ ) - 1}{cos ^{2} ( θ )} = csc^{2} (θ)

Manipuliere die linke Seite

\frac{csc ^{2} ( θ ) - 1}{cos ^{2} ( θ )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{- 1 + csc ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{- 1 + ( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

Vereinfache

\frac{- 1 + ( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{cos ^{2} ( θ )} : \frac{- sin ^{2} ( θ ) + 1}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

\frac{- 1 + ( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{- 1 + \frac{1}{s i n ^{2} ( θ )}}{cos ^{2} ( θ )}

Füge

- 1 + \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

zusammen:

\frac{- sin ^{2} ( θ ) + 1}{sin ^{2} ( θ )}

- 1 + \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= - \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot sin ^{2} ( θ ) + 1}{sin ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (θ) = sin^{2} (θ)

= \frac{- sin ^{2} ( θ ) + 1}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{- s i n ^{2} ( θ ) + 1}{s i n ^{2} ( θ )}}{cos ^{2} ( θ )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{- sin ^{2} ( θ ) + 1}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

= \frac{- sin ^{2} ( θ ) + 1}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (θ)

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( θ )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( θ )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( θ )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{csc ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{\frac{1}{c s c ^{2} ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ^{2} ( θ )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= csc^{2} (θ)

csc^{2} (θ)

csc^{2} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (- x) + cos (- x) = cos (x) - sin (x)

p ro v e sin (x) + csc (x) cos^{(2)} (x) = csc (x)

p ro v e sin (x) = 2 sin (\frac{x}{2}) cos (\frac{x}{2})

p ro v e \frac{cos ( x )}{sec ( x ) - tan ( x )} = 1 - sin (x)

p ro v e sin^{2} (wt) = \frac{1 - cos ( 2 wt )}{2}