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beweisen sin(2x)=2(cos(x))(cos(pi/2-x))

Lösung

beweisen

sin (2 x) = 2 (cos (x)) (cos (\frac{π}{2} - x))

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (2 x) = 2 cos (x) cos (\frac{π}{2} - x)

Manipuliere die rechte Seite

2 cos (x) cos (\frac{π}{2} - x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (\frac{π}{2} - x)

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

= cos (\frac{π}{2}) cos (x) + sin (\frac{π}{2}) sin (x)

Vereinfache

cos (\frac{π}{2}) cos (x) + sin (\frac{π}{2}) sin (x) : sin (x)

cos (\frac{π}{2}) cos (x) + sin (\frac{π}{2}) sin (x)

cos (\frac{π}{2}) cos (x) = 0

cos (\frac{π}{2}) cos (x)

Vereinfache

cos (\frac{π}{2}) : 0

cos (\frac{π}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{2}) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 0

= 0 \cdot cos (x)

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

sin (\frac{π}{2}) sin (x) = sin (x)

sin (\frac{π}{2}) sin (x)

Vereinfache

sin (\frac{π}{2}) : 1

sin (\frac{π}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{2}) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= 1

= 1 \cdot sin (x)

Multipliziere:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= sin (x)

= 0 + sin (x)

0 + sin (x) = sin (x)

= sin (x)

= sin (x)

= 2 cos (x) sin (x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

2 cos (x) sin (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= sin (2 x)

= sin (2 x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e tan^{2} (x) = \frac{1 + tan ^{2} ( x )}{1 + cot ^{2} ( x )}

p ro v e \frac{( tan ^{2} ( θ ) )}{( sec ( θ ) - 1 )} - 1 = sec (θ)

p ro v e 2 sin^{2} (x) + cos (x) = 1

p ro v e cos (x) + sin (x) tan^{2} (x) = sec (x)

p ro v e csc^{2} (x) - cot^{2} (x) + 1 = 0