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beweisen ((tan^2(θ)))/((sec(θ)-1))-1=sec(θ)

Lösung

beweisen

\frac{( tan ^{2} ( θ ) )}{( sec ( θ ) - 1 )} - 1 = sec (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{tan ^{2} ( θ )}{sec ( θ ) - 1} - 1 = sec (θ)

Manipuliere die linke Seite

\frac{tan ^{2} ( θ )}{sec ( θ ) - 1} - 1

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{tan ^{2} ( θ )}{sec ( θ ) - 1} - 1

Verwende die Pythagoreische Identität:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

tan^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

= \frac{sec ^{2} ( θ ) - 1}{sec ( θ ) - 1} - 1

Vereinfache

\frac{sec ^{2} ( θ ) - 1}{sec ( θ ) - 1} - 1 : sec (θ)

\frac{sec ^{2} ( θ ) - 1}{sec ( θ ) - 1} - 1

Streiche

\frac{sec ^{2} ( θ ) - 1}{sec ( θ ) - 1} : sec (θ) + 1

\frac{sec ^{2} ( θ ) - 1}{sec ( θ ) - 1}

Faktorisiere

sec^{2} (θ) - 1 : (sec (θ) + 1) (sec (θ) - 1)

sec^{2} (θ) - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= sec^{2} (θ) - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sec^{2} (θ) - 1^{2} = (sec (θ) + 1) (sec (θ) - 1)

= (sec (θ) + 1) (sec (θ) - 1)

= \frac{( sec ( θ ) + 1 ) ( sec ( θ ) - 1 )}{sec ( θ ) - 1}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sec (θ) - 1

= sec (θ) + 1

= sec (θ) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= sec (θ)

= sec (θ)

= sec (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 2 sin^{2} (x) + cos (x) = 1

p ro v e cos (x) + sin (x) tan^{2} (x) = sec (x)

p ro v e csc^{2} (x) - cot^{2} (x) + 1 = 0

p ro v e cos (- b) tan (b) csc (b) cot (b) = cot (b)

p ro v e cos (2 x) = sin (2 x) cos (2 x) + cos (4 x)